Нарисуй дугу и отметь симметрию: куда направлен вектор от центра дуги до её центра масс? Подумай, какие элементы дуги вносят противоположные вклады.

Вычисли координату центра масс как отношение интеграла координаты элемента массы к массе: ; положи и используй параметризацию по углу.

1. Параметризуй положение элемента дуги углом и выпиши его радиус-вектор относительно .
2. Запиши и выражение для проекции радиуса центра масс на ось симметрии через интеграл по .
3. Вычисли соответствующие интегралы (учти, что синус нечётная, косинус чётная), сократи множители и сумму масс.
4. Вырази расстояние через полученные интегралы и упрость до конечного отношения.

Подумай: какая длина кольца должна сгореть, чтобы кольцо полностью исчезло, и с какой скоростью это происходит?

Воспользуйся соотношением «время = пройденная длина / скорость продвижения огня» для окружности длиной .

1. Запиши полную длину кольца .
2. Подставь, что огонь движется по окружности со скоростью и пройдёт за время .
3. Составь уравнение .
4. Вырази искомое время из этого отношения.

Угол поворота — это интеграл от угловой скорости; начальное значение угла равно нулю.

Запиши ; при постоянной интеграл даёт линейную зависимость.

1. Подставь найденную в 1.2 постоянную в интеграл для .
2. Выполни интегрирование от 0 до с учётом начального условия .
3. Упрость результат до выражения вида пропорционального .
4. Вырази искомую функцию из полученного интеграла.

Траектория пламени — траектория точки горения относительно неподвижной системы: это сумма движений центра масс и точки на оставшейся дуге.

Составь параметрическое уравнение траектории как векторную сумму координат центра масс и радиус-вектора точки горения относительно ; угол точки горения равен .

1. Возьми выражения и из пункта 1.1 (подставь ).
2. Запиши координаты точки горения относительно геометрического центра кольца (траектория по окружности с углом ).
3. Перенеси эти координаты в систему с началом в и сложи с для получения абсолютных координат огня.
4. Вырази траекторию пламени в параметрической форме и при желании исключи параметр для явного .