1.1 Рассмотрим поворот дуги угловой величиной и линейной плотностью на малый угол от вертикали (рис. 1).

Поскольку можно считать, что масса всей дуги сосредоточена в её центре масс (некоторой точке ) на расстоянии от оси вращения , то при таком повороте центр масс поднимется на высоту относительно начального положения (точка на рис. 1).

Это приведёт к увеличению потенциальной энергии системы на величину

С учетом того, что при малых углах , выражение (1) можно преобразовать к виду

Однако, с другой стороны можно считать, что при таком повороте изменилась энергия только выделенных на рисунке 1 участков и дуги. Иными словами, увеличение потенциальной энергии соответствует переходу участка дуги из положения в положение . При этом масса поднялась на высоту , (см. рис. 1) что соответствует приращению энергии

Приравнивая выражения (2) и (3), получаем искомое выражение

1.2 Рассмотрим положение огня (точки горения) через промежуток времени . Пусть к этому моменту времени сгорела дуга , тогда точка горения прошла по дуге расстояние , что соответствует углу поворота огня на угол , где — радиус кольца (Рис. 2). Если масса единицы длины (линейная плотность) кольца , то в силу однородности кольца сгоревшую массу найдем как

Заметим, что центр тяжести симметричных дуг и при движении точки горения всегда лежит в геометрическом центре кольца — точке , поскольку их массы одинаковы. Центр тяжести «нескомпенсированной» дуги — точка лежит на биссектрисе угла (), причём согласно первому пункту задачи можем записать

Таким образом, центр тяжести системы в рассматриваемый момент времени лежит на отрезке на некотором расстоянии от начала координат. Учитывая, что массы соответствующих дуг

можно «собрать» в точках и , искомое расстояние найдем достаточно стандартным образом

Как следует из (8), формулой, приведенной в условии для вычисления положения центра масс однородной дуги, можно пользоваться и в начальный период горения кольца, хотя проверить это никогда не помешает.

Подчеркнем, что поскольку центр масс системы находится на биссектрисе угла , то угловая скорость вращения центра масс вокруг начала координат в два раза меньше угловой скорости вращения точки горения, т.е.

Это означает, что при полном сгорании кольца (т.е. при повороте точки горения на угол ) угол поворота центра масс системы будет в два раза меньше

С учётом этого обстоятельства, координаты центра тяжести системы в рассматриваемый момент времени найдем как

1.3 Для построения графиков функций и удобно ввести безразмерные координаты и , меняющиеся в пределах . В этих координатах построим графики полученных функций (11) и (12).

Для этого разобьем полный угол поворота точки горения на интервалы по и заполним Таблицу 1 для функции (11) и по ней построим график.

Аналогично заполняем таблицу и строим график для функции (12).

Для наглядного представления об изменении положения центра масс со временем достаточно интересно построить оба графика в одних координатах.

Для удобства анализа на рисунке Рис. 4. Зависимость 5 одновременно представлены зависимости , .

Рис. 5. Зависимости координат , центра масс от угла (в радианах)

1.4 Используя точки для полученных зависимостей , , построим траекторию центра масс в течение всего процесса движения точки горения. Математически нам следует построить зависимость , исключив из уравнений (11) и (12), однако проще это сделать непосредственно графически. Результат построения представлен на рисунке 6.

Рис. 6. Траектория центра масс при горении

Таким образом, центр масс горящего кольца описывает достаточно своеобразную кривую, общий вид которой представлен на Рис. 6.

Она начинается в центре кольца (точка ), а заканчивается непосредственно на самом кольце, попадая в точку начала горения (точка ) с «другой стороны». Это движение обусловлено как изменением формы тела, так и уменьшением его массы.

2.1 В начальном состоянии напряжённость электростатического поля в центре кольца (точке ) равна нулю. По мере сгорания кольца уменьшается его длина, а, следовательно, и электрический заряд.

Рассмотрим положение огня (точки горения) через некоторый промежуток времени , в течение которого выгорела дуга кольца (рис 11). В силу симметрии системы заметим, что теперь в центре кольца электростатическое поле определяется только участком кольца (выделен на рисунке), поскольку результирующее действие участков и кольца равно нулю.

Разобьём дугу на малые участки и просуммируем напряжённости электростатического поля от каждого из них. При этом вектор результирующего поля будет направлен вдоль биссектрисы угла (см. рис 11). Результат суммирования легко получить геометрически, если заметить, что модуль искомого вектора пропорционален длине хорды (или )

стягивающей дугу (на рисунке 11 не показана).

Действительно, согласно принципу суперпозиции электрических полей, искомое значение напряжённости поля можно записать в виде суммы

где – модуль напряжённости электростатического поля, создаваемого элементарным зарядом небольшого участка кольца, – линейная плотность заряда кольца, – угол между

вектором и биссектрисой угла (см. Рис 11), ось направлена вдоль биссектрисы .

С учетом последних равенств, сумма (33) примет вид

Убедитесь самостоятельно, что сумма проекций элементарных участков дуги дает длину стягивающей её хорды

Таким образом, окончательно получаем

Для удобства построения графиков будем использовать безразмерную величину

График полученной зависимости представлен на рисунке 12.

2.2 С учетом того, что при горении кольца угол меняется от нуля до , приходим к выводу, что максимум функции достигается при .

Следовательно, для можем записать

С учётом того, что поле от «трёх четвертей» кольца соответствует , можем получить, что в данном случае