Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.- Десять пружин (
) длиной см, массой г каждая и с коэффициентом жёсткости каждая, спаяны последовательно в цепочку. Растяжением каждой из пружин под действием собственного веса можно пренебречь. ( )
1.1. Определите длину
Какие силы действуют на звенья висящей цепочки и как величина нагрузки меняется от верхнего звена к нижнему?
Запиши условие равновесия для каждого звена, используя закон упругости (Hooke) для связи его удлинения с внешней силой; учти вес всех звеньев, находящихся ниже данного звена.
- Нумеруй звенья сверху вниз и обозначь удлинение i-го звена как
. - Для i-го звена выпиши уравнение равновесия вида: жёсткость одного звена умноженная на
равна суммарной массе нижних звеньев, умноженной на . - Просуммируй все
от первого до предпоследнего, воспользуйся формулой суммы первых целых чис — чтобы получить общую дополнительную деформацию ; затем подставь в и вырази из полученной системы.
1.1.
Длина всей цепочки, подвешенной вертикально
где,
Верхнее первое звено будет деформироваться под действием веса нижних
Условие равновесия для нижних
для
для нижнего n-го звена –
Нижнее n-ое звено не деформируется.
Подставляя уравнения (3), (4), (5), (6), в (2) получим:
1.2. Сколько таких пружин нужно последовательно спаять в цепочку, чтобы длина цепочки под действием собственного веса увеличилась в два раза?
- Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, имеет массу
, длину , коэффициент жёсткости .
Поставь условие, при котором удлинение от веса равно исходной суммарной длине, то есть суммарная длина удваивается.
Используй формулу для суммарного удлинения цепочки, полученную в предыдущем пункте, и реши уравнение на неизвестное число звеньев
- Запиши условие удвоения длины:
. - Подставь выражение
из п.1.1 в это условие. - Сократив тривиальные множители, получи алгебраическое уравнение для
. - Вырази
из полученного уравнения.
1.2. Согласно условию
Подставляя (10) в (9) получим:
Откуда
2.1. Определите деформацию пружины
2.1.
Выберем снизу пружины участок длиной
Деформацию первого сверху участка длиной
Учитывая (13) и (15), уравнение (14) примет вид:
Учитывая, что
Откуда
Деформация второго сверху участка находится аналогично:
Для
Учитывая, что
получим
При
2.2. При каком коэффициенте жёсткости пружины
- Пружина, которая может растягиваться под действием собственного веса, массой
, длиной , и коэффициентом жёсткости , лежит на горизонтальной поверхности. Коэффициент трения между пружиной и поверхностью . К одному из краёв пружины прикладывают силу .
2.2. Так как по условию задачи
Откуда
3.1. Определите установившуюся деформацию пружины
Представь движущуюся по поверхности пружину как последовательность маленьких участков и обрати внимание, что внешняя сила компенсирует суммарную силу трения.
Для каждого участка используй второй закон Ньютона в установившемся равномерном движении (сумма сил равна нулю) и закон Гука для связи локальной упругой силы с локальным удлинением; учти, что трение пропорционально массе участка.
- Разбей пружину на
участков длиной и вырази жёсткость одного участка через и . - Для i‑го участка, считая от свободного конца, запиши уравнение равновесия: упругая сила участка уравновешивает суммарную силу трения на всех участках слева от него.
- Вырази каждое
через и соответствующий номер участка, затем просуммируй по всем деформируемым участкам. - Возьми предел
и вырази суммарную деформацию .
3.1. При равномерном движении пружины по горизонтальной поверхности внешняя сила
Выберем возле свободного конца пружины участок длиной
Для
Для
Для
Для деформаций получим:
Просуммировав деформации получим:
При
3.2. Определите деформацию пружины
3.2. Рассуждая аналогично п.3.1., из второго закона Ньютона для -ой части пружины,
Просуммировав деформации получим:
При
3.3. При каком значении силы
УТВЕРЖДАЮ
Заместитель председателя оргкомитета заключительного этапа
Республиканской олимпиады Заместитель Министра образования
_________________________ Р.С.Сидоренко
«___» декабря 2016 г.
Республиканская физическая олимпиада
2017 год.
(III этап)
Теоретический тур
3.3. Так как по условию задачи
Откуда
Из второго закона Ньютона, записанного для всей пружины, получим:
Подставляя (50) в (51), получим:
Похожие задачи
Гук против Архимеда!
Часть 1. Вспомним закон Гука.
Пусть длина нерастянутой пружины равна
Неоднозначность и как с ней бороться!
Часть 1. «Бревно»
У Р Б П ≈5/5 Т2
Муфтавар. 1
На горизонтальный стержень насажена муфта массы
Деформация изгиба
Приборы и оборудование: Пружинка от шариковой ручки, две палочки от шашлыка длиной 20 см, штатив с лапкой, секундомер, транспортир, нить с грузом.
В …
Выпад против Эйнштейна?
Если Вы находитесь в закрытой кабине лифта, то согласно принципу относительности Г.Галилей, никакими способами не сможете определить, покоится лифт …
У Р Б П ≈5/5 Т2
Застой
- «Застой». Хорошо известно, что для большинства трущихся поверхностей коэффициент трения покоя превышает коэффициент трения скольжения. Увеличение …