Длина всей цепочки, подвешенной вертикально


где, - удлинение всей цепочки.
, , ... - удлинения первого, второго ... (n-1)-го звеньев, считая сверху.
Верхнее первое звено будет деформироваться под действием веса нижних звеньев. Условие равновесия для них имеет вид:

Условие равновесия для нижних звеньев –

для звеньев –

для нижнего n-го звена –

Нижнее n-ое звено не деформируется.
Подставляя уравнения (3), (4), (5), (6), в (2) получим:

– сумма первых членов арифметической прогрессии

1.2. Согласно условию

Подставляя (10) в (9) получим:

Откуда

2.1.

Выберем снизу пружины участок длиной растяжением под действием собственного веса, которого можно пренебречь. Тогда недеформированную пружину длиной можно рассматривать как пружин соединённых последовательно, жёсткость каждой из которых равна

Деформацию первого сверху участка длиной можно найти из условия равновесия оставшейся нижней части пружины (рис.3).

- масса участка пружины длиной .

Учитывая (13) и (15), уравнение (14) примет вид:

Учитывая, что получим:

Откуда

Деформация второго сверху участка находится аналогично:

Для -го участка

Учитывая, что

получим

При , дробь , тогда

2.2. Так как по условию задачи , то из (25) получим:

Откуда

3.1. При равномерном движении пружины по горизонтальной поверхности внешняя сила равна силе трения действующей на пружину со стороны поверхности

Выберем возле свободного конца пружины участок длиной , деформацией которого можно пренебречь. Тогда недеформированную пружину длиной можно рассматривать как пружин соединённых последовательно, жёсткость каждой из которых равна

Для -ой части пружины длиной , находящейся слева, справедливо уравнение:

Для -ой и -ой части пружины справедливо уравнение:

Для частей пружины, находящихся слева

Для деформаций получим:





Просуммировав деформации получим:

При , дробь , тогда

3.2. Рассуждая аналогично п.3.1., из второго закона Ньютона для -ой части пружины, -ой и -ой части, частей пружины, находящихся слеваи.т.д. для деформаций получим:





Просуммировав деформации получим:

При , дробь , тогда

3.3. Так как по условию задачи , то из (25) получим:

Откуда

Из второго закона Ньютона, записанного для всей пружины, получим:

Подставляя (50) в (51), получим: