Железнодорожный мост — решение

Решение

Городская олимпиада (3-й этап) 2026 10 класс № 2

Любые инженерные конструкции предварительно точно рассчитываются, а их поведение в критических ситуациях многократно моделируется на предмет надежности и соответствия требованиям безопасности.

Рассмотрим длинный однопролётный железнодорожный мост (Рис. 1), по которому проходит короткий поезд с одинаковыми вагонами.

В опорах (устоях)

моста (см. Рис. 1) установлены датчики «избыточного» веса («избыточной реакции») для отслеживания изменения силы давления моста на данную опору при прохождении поезда (т.е. они не учитывают собственный вес моста и вес поезда на насыпи).

При расчетах будем считать, что масса единицы длины (линейная плотность) поезда есть величина известная и постоянная. При таком подходе поезд можно считать однородной «движущейся цепочкой».

В рамках данного задания вам предстоит более подробно разобрать процесс прохождения поезда по мосту с инженерной точки зрения, определить изменения динамической нагрузки на каждую из опор при этом.

Справочные данные и параметры рассматриваемой системы: ускорение свободного падения $м с$ ; трением и сопротивлением воздуха в данном задании пренебречь.

2.1

2.1 Рассмотрим первый этап движения поезда по мосту (выезд, ). Пусть в некоторый момент на мосту оказалась часть поезда длиной (Рис. 3).

Поскольку рассматриваемый поезд «однородный», то на мосту находится его часть массой

, (15)

где -- линейная плотность поезда (масса единицы его длины).

Соответственно, центр масс этого «куска» поезда находится на расстоянии от опоры моста и на расстоянии от опоры .

Согласно (2) получим, что в этом случае искомая зависимость равна

, (16)

где -- ускорение свободного падения.

Соответственно, для безразмерной зависимости получим параболическую функцию

. (17)

Используя (17) с помощью инженерного калькулятора заполняем Таблицу 1.

Таблица 1.

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 0,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,0 \end{minipage}
	0,00	0,10	0,19	0,28	0,36	0,44	0,51	0,58	0,64	0,70	0,75

2.2

2.2 На втором этапе движения поезда (, поезд целиком едет по мосту) координата его центра масс будет на расстоянии () от опоры моста и на расстоянии () от его опоры .

Опять же согласно (2) получим, что в этом случае искомая зависимость равна

, (18)

где -- ускорение свободного падения.

Соответственно, для безразмерной зависимости на этом этапе получим линейную функцию

, (19)

где .

Используя (19) с помощью инженерного калькулятора заполняем Таблицу 2.

Таблица 2.

| \begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright

\end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,0 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,1 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,2 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,3 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,4 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,5 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,6 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,7 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,8 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 1,9 \end{minipage}	\begin{minipage}[b]{\linewidth}\raggedright 2,0 \end{minipage}
	0,75	0,7	0,65	0,6	0,55	0,5	0,45	0,4	0,35	0,3	0,25

2.3

2.3 Наконец, при съезде с моста (третий этап, ) часть поезда длиной () уже находится на насыпи, и часть длиной (), соответственно, -- еще на мосту. Расстояние от центра масс «мостовой» части поезда до опоры равно .