Задача 11-1 — решение

Решение

Республиканская олимпиада 2014 11 класс № 1

1.1

1.1 Для бесконечного соленоиду

1.2

1.2 Для индукции в произвольной точке внутри соленоида

На рисунке показан график этой функции (от учеников его построение не требуется).
Видно, что при увеличении отношения длины к радиусу соленоида влияние его краев на поле уменьшается. Можно сказать, что краевые эффекты распространяются на глубину порядка диаметра соленоида.
Индукция магнитного поля на краю соленоида равна:

Индукция магнитного поля в центре соленоида () равна:

Индукция магнитного поля

вдоль оси соленоида конечной длины

принимает максимальное значения в центре соленоида

и минимальное значения на краях соленоида

1.3

1.3 Если смотреть справа на соленоид, то направление тока совпадает с направлением вращения буравчика по часовой стрелке. Количество силовых линий магнитного поля пропорционально модулю вектора магнитной индукции (). В центре соленоида , на краю соленоида .

При конечной длине соленоида начинают сказываться краевые эффекты: поле внутри соленоида перестает быть однородным, меняется радиальная и осевая составляющие магнитного поля.

2.1

2.1 Из условия равновесия цепочки,

следует, что максимально возможная длина свисающей части цепочки равна

2.2

2.2 Так как , то массой цепочки на изгибе стола можно пренебречь:

Тогда условие равновесия с учетом силы трения приобретет вид

$г д е$

Подстановка численных значений дает результат

Учет действия края стола на цепочку увеличивает значение х более чем в полтора раза!

3. «Край» электрического диполя

3.1

3.1 Для определения силы взаимодействия диполя с проводящей плоскостью воспользуемся методом электростатических изображений.

Учтем формулу приближения:

Учтено, что , т. к. L>>r.

3.2

3.2 Из симметрии задачи следует, что

Сила взаимодействия диполя с проводящей плоскостью при параллельной ориентацией равна:

По формуле приближения

4. Край сферической линзы

4.1

4.1 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности OF1 для плосковыпуклой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.

Расстояние параксиального фокуса от центра сферической поверхности OF для плосковыпуклой поверхности определим для очень узкого пучка лучей .

Для малых углов можно считать

Решая систему уравнений , получаем:

4.2

4.2 Расстояние крайнего фокуса от центра сферической поверхности OF1 для плосковогнутой поверхности определим из условия полного внутреннего отражения.