Вытекание

9 класс № 2 5/5 Edu

9.1 9.2 9.3

T Условие S Решение M Разбалловка H Подсказки E Режим тренировки

▾Файлы

Условие (PDF) Решения (PDF) Условие (Задача) Решение (Задача) Условие (Оригинал) Решение (Оригинал) Разбалловка (Оригинал) TeX версия

Режим тренировки Edu

Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.

Часть 1. Бросок

В данной части вам необходимо описать движение тела, брошенного вертикально вверх, в не совсем обычной системе координат. Сопротивлением воздуха можно пренебречь.

Небольшой шарик брошен вертикально вверх с начальной скоростью . Обозначим максимальную высоту подъема шарика . Введем ось координат , направленную вертикально вниз, начало отсчета которой совпадает с максимальной высотой подъема. Далее под скоростью и ускорением подразумеваются проекции скорости и ускорения шарика на ось .

Решено

1.1 Выразите максимальную высоту подъема шарика через начальную скорость и ускорение свободного падения .

Нарисуй траекторию и подумай, к какому виду энергии переходит кинетическая энергия шарика в момент остановки на верхней точке.

Примените закон сохранения механической энергии между начальным моментом и вершиной подъёма и запишите равенство между кинетической и потенциальной энергиями.

Запишите кинетическую энергию в начальный момент и потенциальную в верхней точке.
Приравняйте их согласно закону сохранения энергии.
Сократите общие множители (массу) и упростите выражение.
Выразите из полученной системы.

1.1 Максимальную высоту подъема проще всего выразить из закона сохранения энергии

Из этой формулы получаем:

Решено

1.2 Чему равны проекции ускорения и начальной скорости шарика на ось - , ?

1.2 Проекции ускорения и начальной скорости на введенную ось равны

Решено

1.3 Найдите зависимость скорости шарика от координаты - .

1.3 Зависимость скорости шарика от его координаты легко выразить из закона сохранения энергии

Из которого следует (с учетом знака проекции), что

Решено

1.4 Найдите зависимость координаты шарика от времени . В качестве параметров этой функции используйте только начальную скорость и ускорение свободного падения .

Вспомни, что движение шарика равноускоренное и как связаны скорость и координата с временем в таком движении.

Используй кинематические формулы равноускоренного движения или закон сохранения энергии вместе с выражением скорости как функции времени .

Запиши выражение для скорости как функции времени .
Подставь это выражение в связь между скоростью и координатой, полученную из энергии или кинематики (с учётом введённой координаты ).
Упрость выражение до функции в терминах только и .
Выразите из полученной системы.

1.4 Из формулы (5) выразим

Так как движение шарика является равноускоренным, то зависимость скорости от времени описывается функцией

Поэтому зависимость координаты имеет вид

Примечание. Все формулы этой части могут быть получены чисто «кинематически», используя законы равноускоренного движения. При таком подходе проще всего использовать известную формулу

Решено

1.5 Постройте схематический график зависимости . Укажите характерные точки этого графика.

Обозначим («время полуподъема») - время, за которое шарик поднимается на высоту , равную половине максимальной высоты. Это время может быть выражено через максимальную высоту подъема и ускорение свободного падения следующим образом:

где - некоторый безразмерный численный коэффициент, - постоянные показатель степеней.

1.5 График функции (9) показан на рисунке

Кривая является параболой.
На графике обозначено
- начальная и конечная
координата шарика;
- время подъема шарика.

Решено

1.6 Найдите значения показателей степеней в формуле (1).

1.6 Значения показателей степеней могут легко быть найдены, используя метод размерностей

То есть формула для искомого времени имеет вид

Решено

1.7 Рассчитайте численное значение коэффициента в формуле (1).

1.7 Для расчета значения коэффициента подставим выражение (11) для времени и формулу для начальной скорости в уравнение (9):

Из этого уравнения находим два возможных значения коэффициента :

Два корня имеют физический смысл: шарик находится на половине высоты дважды — при подъеме и при спуске. По смыслу задачи необходимо выбрать меньший корень, поэтому

Примечание. Результаты могут быть получены и с помощью непосредственного решения уравнения (9) без перехода к безразмерным параметрам.

Решено

2.1 Найдите зависимость скорости вытекания воды из отверстия от высоты уровня воды в сосуде .

Подумай, какую энергию теряет водяной столб в сосуде, когда уровень опускается, и во что превращается эта энергия при истечении через отверстие.

Запиши сохранение механической энергии для массы воды, вытекшей за короткий промежуток: уменьшение потенциальной энергии равно приросту кинетической энергии струи у выхода.

Возьми малую массу воды Δm, вытекшую при падении уровня с некоторой высоты .
Запиши уменьшение потенциальной энергии ΔU=Δm g z и прирост кинетической энергии ΔE_k=Δm v_1^2/2.
Приравняй эти величины и выразите из полученного соотношения.

2.1 Рассмотрим процесс вытекания за малый промежуток времени . Пусть за это время уровень воды в сосуде изменился от до . Поэтому потенциальная энергия воды в сосуде уменьшилась на величину

где - масса воды, вытекшей из сосуда за рассматриваемый промежуток времени. Такая же масса воды протекла через отверстие, унося кинетическую энергию

Так как площадь поперечного сечения сосуда значительно больше диаметра отверстия, то кинетической энергией воды, находящейся в сосуде, можно пренебречь. На основании закона сохранения механической энергии можно записать

Откуда следует, что скорость вытекания воды из отверстия равна

Решено

2.2 Найдите зависимость проекции на ось скорости опускания от высоты уровня . В качестве параметров этой функции используйте только ускорение свободного падения и отношение диаметров .

Подумай, как соотносятся объёмы прошедшей через отверстие воды и убавившийся объём в сосуде за одно и то же время.

Запиши закон сохранения объёма: скорость опускания уровня множенная на площадь сосуда даёт объёмный расход через отверстие, равный площади отверстия, умноженной на скорость истечения.

Обозначь площадь сосуда S и площадь отверстия s_1, запиши уравнение балансa объёмов .
Подставь найденную ранее зависимость в это уравнение.
Вырази скорость опускания уровня и с учётом направления оси запиши проекцию из полученной системы.

2.2 Изменение объема воды в сосуде равно объему вытекшей воды, поэтому

где , площади поперечного сечения сосуда и отверстия, соответственно.
Из формулы (19) следует, что

Учитывая, что отношение площадей равно квадрату отношения диаметров, используя формулу (18) получим зависимость скорости опускания от высоты

С учетом направления оси , запишем искомую зависимость проекции этой скорости от высоты

Решено

2.3 Чему равно ускорение, с которым опускается уровень воды в сосуде ?

Нарисуй схему: как связаны скорость вытекания через малое отверстие и скорость опускания уровня в сосуде? Подумай, зависит ли скорость опускания от высоты уровня и будет ли её изменение равномерным.

Применяй уравнение Бернулли (чтобы получить скорость вытекания как функцию уровня) и уравнение неразрывности потока (чтобы связать эту скорость с скоростью опускания уровня); затем продифференцируй полученную зависимость по времени, используя цепное правило.

Запиши скорость вытекания из отверстия по Бернулли.
Свяжи проекцию скорости опускания уровня с через соотношение площадей поперечных сечений (не забудь обозначение ).
Продифференцируй по времени: используй и цепное правило (учти направление оси).
Вырази из полученной зависимости, подставив связь и её производную.

2.3 Функция (21) полностью аналогична зависимости (6), полученной для равноускоренного движения шарика в поле тяжести земли, если заменить величину на модифицированное значение . Кроме того, для этих зависимостей одинаковы начальные условия (при ), поэтому законы движения также полностью аналогичны! Следовательно, далее можно использовать все формулы, полученные для движения шарика (не забывая в них изменить значение ускорения).
Так ускорение уровня воды равно

Решено

2.4 Найдите зависимость высоты уровня воды в сосуде от времени . При высота уровня воды в сосуде равна . В качестве параметров функции используйте величины .

2.4 С помощью найденной аналогии на основании формулы (9) запишем закон движение границы

Начальная скорость движения определяется формулой (21), поэтому закон движения уровня воды имеет вид

Решено

2.5 Найдите через, какое время уровень воды в сосуде уменьшится в два раза.

2.5 Время «полувытекания» найдем с помощью формулы (11) и найденным значением коэффициента (14)

Решено

2.6 Рассчитайте численное значение времени «полувытекания» , если см, , $м с$ .

2.6 подстановка численных значений приводит к результату
$с$

Режим тренировки Edu

Похожие задачи