1.1 Максимальную высоту подъема проще всего выразить из закона сохранения энергии

Из этой формулы получаем:

1.2 Проекции ускорения и начальной скорости на введенную ось равны

1.3 Зависимость скорости шарика от его координаты легко выразить из закона сохранения энергии

Из которого следует (с учетом знака проекции), что

1.4 Из формулы (5) выразим

Так как движение шарика является равноускоренным, то зависимость скорости от времени описывается функцией

Поэтому зависимость координаты имеет вид

Примечание. Все формулы этой части могут быть получены чисто «кинематически», используя законы равноускоренного движения. При таком подходе проще всего использовать известную формулу

1.5 График функции (9) показан на рисунке

Кривая является параболой.
На графике обозначено
- начальная и конечная
координата шарика;
- время подъема шарика.

1.6 Значения показателей степеней могут легко быть найдены, используя метод размерностей

То есть формула для искомого времени имеет вид

1.7 Для расчета значения коэффициента подставим выражение (11) для времени и формулу для начальной скорости в уравнение (9):

Из этого уравнения находим два возможных значения коэффициента :

Два корня имеют физический смысл: шарик находится на половине высоты дважды — при подъеме и при спуске. По смыслу задачи необходимо выбрать меньший корень, поэтому

Примечание. Результаты могут быть получены и с помощью непосредственного решения уравнения (9) без перехода к безразмерным параметрам.

2.1 Рассмотрим процесс вытекания за малый промежуток времени . Пусть за это время уровень воды в сосуде изменился от до . Поэтому потенциальная энергия воды в сосуде уменьшилась на величину

где - масса воды, вытекшей из сосуда за рассматриваемый промежуток времени. Такая же масса воды протекла через отверстие, унося кинетическую энергию

Так как площадь поперечного сечения сосуда значительно больше диаметра отверстия, то кинетической энергией воды, находящейся в сосуде, можно пренебречь. На основании закона сохранения механической энергии можно записать

Откуда следует, что скорость вытекания воды из отверстия равна

2.2 Изменение объема воды в сосуде равно объему вытекшей воды, поэтому

где , площади поперечного сечения сосуда и отверстия, соответственно.
Из формулы (19) следует, что

Учитывая, что отношение площадей равно квадрату отношения диаметров, используя формулу (18) получим зависимость скорости опускания от высоты

С учетом направления оси , запишем искомую зависимость проекции этой скорости от высоты

2.3 Функция (21) полностью аналогична зависимости (6), полученной для равноускоренного движения шарика в поле тяжести земли, если заменить величину на модифицированное значение . Кроме того, для этих зависимостей одинаковы начальные условия (при ), поэтому законы движения также полностью аналогичны! Следовательно, далее можно использовать все формулы, полученные для движения шарика (не забывая в них изменить значение ускорения).
Так ускорение уровня воды равно

2.4 С помощью найденной аналогии на основании формулы (9) запишем закон движение границы

Начальная скорость движения определяется формулой (21), поэтому закон движения уровня воды имеет вид

2.5 Время «полувытекания» найдем с помощью формулы (11) и найденным значением коэффициента (14)

2.6 подстановка численных значений приводит к результату