Нарисуй траекторию и подумай, к какому виду энергии переходит кинетическая энергия шарика в момент остановки на верхней точке.

Примените закон сохранения механической энергии между начальным моментом и вершиной подъёма и запишите равенство между кинетической и потенциальной энергиями.

1. Запишите кинетическую энергию в начальный момент и потенциальную в верхней точке.
2. Приравняйте их согласно закону сохранения энергии.
3. Сократите общие множители (массу) и упростите выражение.
4. Выразите из полученной системы.

Вспомни, что движение шарика равноускоренное и как связаны скорость и координата с временем в таком движении.

Используй кинематические формулы равноускоренного движения или закон сохранения энергии вместе с выражением скорости как функции времени .

1. Запиши выражение для скорости как функции времени .
2. Подставь это выражение в связь между скоростью и координатой, полученную из энергии или кинематики (с учётом введённой координаты ).
3. Упрость выражение до функции в терминах только и .
4. Выразите из полученной системы.

Подумай, какую энергию теряет водяной столб в сосуде, когда уровень опускается, и во что превращается эта энергия при истечении через отверстие.

Запиши сохранение механической энергии для массы воды, вытекшей за короткий промежуток: уменьшение потенциальной энергии равно приросту кинетической энергии струи у выхода.

1. Возьми малую массу воды Δm, вытекшую при падении уровня с некоторой высоты .
2. Запиши уменьшение потенциальной энергии ΔU=Δm g z и прирост кинетической энергии ΔE_k=Δm v_1^2/2.
3. Приравняй эти величины и выразите из полученного соотношения.

Подумай, как соотносятся объёмы прошедшей через отверстие воды и убавившийся объём в сосуде за одно и то же время.

Запиши закон сохранения объёма: скорость опускания уровня множенная на площадь сосуда даёт объёмный расход через отверстие, равный площади отверстия, умноженной на скорость истечения.

1. Обозначь площадь сосуда S и площадь отверстия s_1, запиши уравнение балансa объёмов .
2. Подставь найденную ранее зависимость в это уравнение.
3. Вырази скорость опускания уровня и с учётом направления оси запиши проекцию из полученной системы.

Нарисуй схему: как связаны скорость вытекания через малое отверстие и скорость опускания уровня в сосуде? Подумай, зависит ли скорость опускания от высоты уровня и будет ли её изменение равномерным.

Применяй уравнение Бернулли (чтобы получить скорость вытекания как функцию уровня) и уравнение неразрывности потока (чтобы связать эту скорость с скоростью опускания уровня); затем продифференцируй полученную зависимость по времени, используя цепное правило.

1. Запиши скорость вытекания из отверстия по Бернулли.
2. Свяжи проекцию скорости опускания уровня с через соотношение площадей поперечных сечений (не забудь обозначение ).
3. Продифференцируй по времени: используй и цепное правило (учти направление оси).
4. Вырази из полученной зависимости, подставив связь и её производную.