Режим тренировки Edu
Баллы скрыты. Решайте по частям: открывайте подсказки и ответ только когда застряли, отмечайте решённое.1.1 Пренебрегая трением, запишите уравнение закона сохранения механической энергии для груза.
Нарисуй груз и подумай, какие виды энергии меняются при его движении. Что остаётся постоянным, если трения нет?
Запиши закон сохранения механической энергии в общем виде: суммарная энергия (кинетическая + потенциальная) постоянна во времени.
- Выбери кинетическую энергию груза
и запиши её через скорость . - Выбери потенциальную энергию пружины
и запиши её через смещение . - Запиши равенство
для всей системы. - Выразите искомое уравнение закона сохранения механической энергии (сумму энергий) из полученных выражений.
1.1 Закон сохранения механической энергии при движении груза по горизонтальной поверхности имеет вид
где
1.2 Приведите полученное уравнение к виду (2). На основании его запишите формулу для периода колебаний груза.
Во многих случаях уравнение вида (2) не следует автоматически из уравнения закона сохранения энергии. Но при рассмотрении малых колебаний (когда величина
2. Рассмотрите малые колебания математического маятника, представляющего собой груз некоторой массы, подвешенный на легкой нерастяжимой нити длиной
1.2 Разделив обе части (1) на массу груза
Из (2) следует, что для горизонтального пружинного маятника
Соответственно, период таких колебаний
2.1 Пренебрегая сопротивлением воздуха, запишите уравнение закона сохранения механической энергии для груза (в качестве координаты используйте угол отклонения).
2.1 При рассмотрении математического маятника удобно ввести в качестве координаты угол
где
При отклонении маятника на угол
2.2 Считая угол отклонения
Подсказка: при малых углах
При описании движения твердого тела, которое не может считаться материальной точкой, выражения для кинетической и потенциальной энергий тела усложняются.
Вырази кинетическую энергию через угловую скорость маятника и радиус подвеса, а изменение потенциальной энергии — через повышение груза при отклонении на угол α.
Воспользуйся законом сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной; при малых α используй приближение (3) для косинуса.
- Запиши кинетическую энергию как функцию угловой скорости и длины подвеса
и потенциальную через . - Подставь приближение
в выражение для и упрость потенциальную энергию до квадратичного члена по . - Запиши уравнение сохранения энергии с этими выражениями и приведи его к виду
. - Выразите
(или ) из полученной системы.
2.2 Используя приведенное в условии соотношение для малых колебаний математического маятника, получим
Теперь уравнения закона сохранения энергии принимает вид
где
Преобразовывая выражение (4) к уравнению гармонических колебаний, получаем
Соответственно, для периода колебаний математического маятника получаем
3.1 Покажите, что потенциальная энергия твердого тела, находящегося в поле тяжести Земли определяется простой формулой
где 
Разбей тело мысленно на тонкие горизонтальные слои и подумай, как складывается их вклад в потенциальную энергию.
Воспользуйся тем, что потенциальная энергия тела равна сумме потенциалов его элементов:
- Разбей тело на элементы массы
с высотами и запиши суммарную потенциальную энергию . - Признай определение центра масс
через взвешенную сумму координат: . - Подставь это выражение в сумму потенциальных энергий.
- Выразите
через , и .
3.1 Мысленно разобьем тело на тонкие горизонтальные слои толщиной
Сумма стоящая в этом выражении определяет положение центра масс
Откуда и следует требуемое выражение для потенциальной энергии тела.
4.1 Покажите, что центр масс
от его центра 
Нарисуй полукольцо и пометь на нем точку, видимую из центра под углом φ. Подумай, как при изменении φ меняется длина малого участка кольца и его вертикальная координата.
Разбей кольцо на элементарные участки, параметризованные углом φ; запиши массу элемента через его длину и общую массу, и используй сумму (переходящую в интеграл) вида
- Выбери параметризацию элементарного участка: длина
и вертикальная координата . - Вырази массу элемента через угол:
и перейди к интегралу с пределами . - Вычисли интеграл
. - Вырази
из полученного равенства.
4.1 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, видимые из центра кольца под малым углом
Теперь можно записать выражение для определения координаты
где суммирование ведется по всем элементам кольца. Подставим полученные выше выражения для параметров отдельных элементов кольца
Полученная сумма легко вычисляется, если обратить внимание, что
Откуда и следует искомое выражение
Альтернативный вариант 1.
Повернем полукольцо на малый угол
С другой стороны это же изменение
потенциальной энергии можно выразить через изменение высоты центра масс
на последнем шаге использовалась приближенная формула для косинуса малого угла. Приравнивая полученные выражения для изменения потенциальной энергии, получим требуемую формулу для центра масс.
Альтернативный вариант 2.
Подвесим к краю полукольца груз малой массы
Момент силы тяжести полукольца можно записать двумя способами: через смещение центра масс полукольца
или как момент веса некомпенсированной части
Приравнивая между собой выражения для
Возможны и другие варианты решения.
4.2 Полукольцо подвесили на горизонтальной оси, проходящей через точку 
4.2 При колебаниях полукольца вокруг его центра
Изменение потенциальной энергии кольца при отклонении на малый угол
Используя формулы (10)-(11), запишем уравнения закона сохранения механической энергии
из которого следует уравнение гармонических колебаний
Период которых равен
Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).
4.3 Полукольцо подвесили на горизонтальной оси, проходящей через точку 
Нарисуй полукольцо, отметь точку подвеса A и положение центра масс C при вертикальной оси симметрии. Подумай, как смещается C при малом повороте вокруг A и куда уходит потенциальная энергия.
Запиши закон сохранения полной механической энергии для вращательного движения: суммарная кинетическая энергия вращения вокруг оси в точке подвеса плюс потенциальная энергия центра масс остаются постоянными. Вырази кинетическую энергию через момент инерции относительно точки подвеса и угловую скорость.
- Найди момент инерции полукольца относительно оси, проходящей через центр O, и затем сдвинь ось на расстояние AO=R по теореме о параллельных осях, чтобы получить момент инерции относительно точки A.
- Вырази изменение потенциальной энергии при малом угловом отклонении φ через вертикальное смещение центра масс; используй разложение cos φ ≈ 1 - φ^2/2 и сохрани только члены до второго порядка.
- Запиши закон сохранения энергии в виде: (I_A·φ̇^2)/2 + (приближённое выражение для ΔU) = const и приведи это уравнение к виду, аналогичному
с переменной . - Вырази из полученной системы квадрат частоты малых колебаний (ω^2) через найденные I_A и коэффициент при φ^2 в ΔU.
4.3 В этом случае разные части полукольца будут иметь разные линейные скорости, но одинаковую угловую скорость
Подсчитаем кинетическую энергию кольца, как сумму энергий всех его малых частей
Первая сумма в этом выражении равна
Не сложно получить и выражение для потенциальной энергии кольца при его отклонении на малый угол
Теперь мы можем записать уравнение закона сохранения энергии при движении кольца
и привести его к виду уравнения гармонических колебаний
Из этого уравнения определяем период колебаний
Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).
4.4 Полукольцо поставили на шероховатую поверхность и вывели из положения равновесия. Полукольцо начало колебаться, качаясь по поверхности без проскальзывания. Определите период таких колебаний полукольца. Колебания считайте малыми.
Подсказка. Получите выражение для кинетической энергии кольца в момент времени, когда ось симметрии кольца вертикальна. При малых колебаниях это выражение будет справедливо и при малых отклонениях от вертикали.
4.4 Расчет кинетической энергии в данном случае ничем не отличается от проведенного в предыдущем разделе 4.3, потому, что в указанном в подсказке положении мгновенным центром вращения является вершина полукольца. Поэтому можно воспользоваться формулой (16).
А для определения изменения потенциальной энергии можно воспользоваться соответствующей формулой (11) из пункта 4.2, потому, что в обоих случаях высота центра полукольца остается неизменной, поэтому
Дальнейший путь решения уже изъезжен нами. Записываем закон сохранения энергии
приводим его к виду уравнения гармонических колебаний
Записываем формулу для периода колебаний
***Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).
Похожие задачи
Колебания магнитов
Сила взаимодействия между двумя небольшими цилиндрическими магнитами зависит от расстояния
Прыгнем на Луну?
Часто простейшие модели позволяют достаточно эффективно описывать сложные механические системы. Например, при прыжке человек приседает, слегка …
У Р Б П ≈4/5 Т2
Негармонические колебания
Часть 1.
Материальная точка массы
Резиновый маятник
В данной задаче Вам предлагается исследовать колебания груза известной массы
Задача 10-5
На горизонтальной поверхности расположен брусок массой
Мыльное трение
Приборы и оборудование: штатив, кусок мыла, секундомер, линейка, доска, резиновая полоса, набор грузов (100, 50, 20, 10 г), влажная салфетка.
Полоску …