Нарисуй груз и подумай, какие виды энергии меняются при его движении. Что остаётся постоянным, если трения нет?

Запиши закон сохранения механической энергии в общем виде: суммарная энергия (кинетическая + потенциальная) постоянна во времени.

1. Выбери кинетическую энергию груза и запиши её через скорость .
2. Выбери потенциальную энергию пружины и запиши её через смещение .
3. Запиши равенство для всей системы.
4. Выразите искомое уравнение закона сохранения механической энергии (сумму энергий) из полученных выражений.

Вырази кинетическую энергию через угловую скорость маятника и радиус подвеса, а изменение потенциальной энергии — через повышение груза при отклонении на угол α.

Воспользуйся законом сохранения механической энергии: сумма кинетической и потенциальной энергий остается постоянной; при малых α используй приближение (3) для косинуса.

1. Запиши кинетическую энергию как функцию угловой скорости и длины подвеса и потенциальную через .
2. Подставь приближение в выражение для и упрость потенциальную энергию до квадратичного члена по .
3. Запиши уравнение сохранения энергии с этими выражениями и приведи его к виду .
4. Выразите (или ) из полученной системы.

Разбей тело мысленно на тонкие горизонтальные слои и подумай, как складывается их вклад в потенциальную энергию.

Воспользуйся тем, что потенциальная энергия тела равна сумме потенциалов его элементов: (или соответствующий интеграл).

1. Разбей тело на элементы массы с высотами и запиши суммарную потенциальную энергию .
2. Признай определение центра масс через взвешенную сумму координат: .
3. Подставь это выражение в сумму потенциальных энергий.
4. Выразите через , и .

Нарисуй полукольцо и пометь на нем точку, видимую из центра под углом φ. Подумай, как при изменении φ меняется длина малого участка кольца и его вертикальная координата.

Разбей кольцо на элементарные участки, параметризованные углом φ; запиши массу элемента через его длину и общую массу, и используй сумму (переходящую в интеграл) вида для определения искомой координаты.

1. Выбери параметризацию элементарного участка: длина и вертикальная координата .
2. Вырази массу элемента через угол: и перейди к интегралу с пределами .
3. Вычисли интеграл .
4. Вырази из полученного равенства.

Нарисуй полукольцо, отметь точку подвеса A и положение центра масс C при вертикальной оси симметрии. Подумай, как смещается C при малом повороте вокруг A и куда уходит потенциальная энергия.

Запиши закон сохранения полной механической энергии для вращательного движения: суммарная кинетическая энергия вращения вокруг оси в точке подвеса плюс потенциальная энергия центра масс остаются постоянными. Вырази кинетическую энергию через момент инерции относительно точки подвеса и угловую скорость.

1. Найди момент инерции полукольца относительно оси, проходящей через центр O, и затем сдвинь ось на расстояние AO=R по теореме о параллельных осях, чтобы получить момент инерции относительно точки A.
2. Вырази изменение потенциальной энергии при малом угловом отклонении φ через вертикальное смещение центра масс; используй разложение cos φ ≈ 1 - φ^2/2 и сохрани только члены до второго порядка.
3. Запиши закон сохранения энергии в виде: (I_A·φ̇^2)/2 + (приближённое выражение для ΔU) = const и приведи это уравнение к виду, аналогичному с переменной .
4. Вырази из полученной системы квадрат частоты малых колебаний (ω^2) через найденные I_A и коэффициент при φ^2 в ΔU.