1.1 Закон сохранения механической энергии при движении груза по горизонтальной поверхности имеет вид

где — значение мгновенной скорости движения груза, а — значение абсолютной деформации пружины (смещение груза от положения равновесия).

1.2 Разделив обе части (1) на массу груза , получим

Из (2) следует, что для горизонтального пружинного маятника

Соответственно, период таких колебаний

2.1 При рассмотрении математического маятника удобно ввести в качестве координаты угол его отклонения от вертикали. Тогда кинетическая энергия движения материальной точки может быть представлена в виде

где — угловая скорость вращения математического маятника, а радиус окружности равен длине его подвеса .

При отклонении маятника на угол от вертикали его потенциальная энергия возрастет на величину

2.2 Используя приведенное в условии соотношение для малых колебаний математического маятника, получим

Теперь уравнения закона сохранения энергии принимает вид

где .

Преобразовывая выражение (4) к уравнению гармонических колебаний, получаем

Соответственно, для периода колебаний математического маятника получаем

3.1 Мысленно разобьем тело на тонкие горизонтальные слои толщиной . Массу каждого слоя обозначим , а его высоту . Тогда потенциальная энергия всего тела может быть представлена в виде суммы

Сумма стоящая в этом выражении определяет положение центра масс

Откуда и следует требуемое выражение для потенциальной энергии тела.

4.1 Мысленно разобьем кольцо на малые участки, видимые из центра кольца под малым углом . Рассмотрим на кольце малый участок , положение которого задается углом от вертикали. Длина этого участка кольца равна , а масса (учитывая, что вся масса равномерно распределена в пределах угла ) . Вертикальная координата (отсчитываемая от центра кольца ) выделенного участка равна .
Теперь можно записать выражение для определения координаты центра масс кольца

где суммирование ведется по всем элементам кольца. Подставим полученные выше выражения для параметров отдельных элементов кольца

Полученная сумма легко вычисляется, если обратить внимание, что , то есть равна длине проекции выделенного отрезка на горизонтальное направление, сумма этих длин проекций равна длине отрезка , очевидно, равной диаметру кольца. Таким образом получаем

Откуда и следует искомое выражение

Альтернативный вариант 1.

Повернем полукольцо на малый угол . При этом его потенциальная энергия увеличится (за счет того, что отрезок «переместился» в положение )

С другой стороны это же изменение

потенциальной энергии можно выразить через изменение высоты центра масс

на последнем шаге использовалась приближенная формула для косинуса малого угла. Приравнивая полученные выражения для изменения потенциальной энергии, получим требуемую формулу для центра масс.

Альтернативный вариант 2.

Подвесим к краю полукольца груз малой массы . Рассмотрим моменты сил, действующих на систему в состоянии равновесия, относительно оси, проходящей через точку касания полукольца и плоскости (точку ). При малом угле момент веса груза

Момент силы тяжести полукольца можно записать двумя способами: через смещение центра масс полукольца

или как момент веса некомпенсированной части полукольца

Приравнивая между собой выражения для , найдем искомое расстояние от точки до центра масс полукольца.

Возможны и другие варианты решения.

4.2 При колебаниях полукольца вокруг его центра все его точки движутся с одинаковыми скоростями , где - угловая скорость вращения кольца, - угол отклонения в данный момент времени. Поэтому кинетическая энергия кольца выражается формулой

Изменение потенциальной энергии кольца при отклонении на малый угол равно

Используя формулы (10)-(11), запишем уравнения закона сохранения механической энергии

из которого следует уравнение гармонических колебаний

Период которых равен

При малом угле с одинаковой точностью справедливы равенства

Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).

4.3 В этом случае разные части полукольца будут иметь разные линейные скорости, но одинаковую угловую скорость ( - угол отклонения в данный момент времени). Поэтому для вычисления кинетической энергии необходимо его разбивать на малые участки. Рассмотрим один из таких участков, видимый из центра под малым углом , и отстоящий от оси симметрии полукольца на угол . Модуль его линейной скорости равен , где - расстояние от выделенного участка кольца до оси вращения . Квадрат этого расстояния можно выразить по теореме косинусов для треугольника

Подсчитаем кинетическую энергию кольца, как сумму энергий всех его малых частей

Первая сумма в этом выражении равна , вторую мы вычисляли при расчете положения центра масс, она равна . Поэтому выражение для кинетической энергии полукольца имеет вид

Не сложно получить и выражение для потенциальной энергии кольца при его отклонении на малый угол . Для этого достаточно в формуле (11) заменить на расстояние от оси вращения до центра масс в этом «перевернутом» случае (

Теперь мы можем записать уравнение закона сохранения энергии при движении кольца

и привести его к виду уравнения гармонических колебаний

Из этого уравнения определяем период колебаний

Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).

4.4 Расчет кинетической энергии в данном случае ничем не отличается от проведенного в предыдущем разделе 4.3, потому, что в указанном в подсказке положении мгновенным центром вращения является вершина полукольца. Поэтому можно воспользоваться формулой (16).

А для определения изменения потенциальной энергии можно воспользоваться соответствующей формулой (11) из пункта 4.2, потому, что в обоих случаях высота центра полукольца остается неизменной, поэтому

Дальнейший путь решения уже изъезжен нами. Записываем закон сохранения энергии

приводим его к виду уравнения гармонических колебаний

Записываем формулу для периода колебаний

***Возможны и другие варианты решения (например, используя формулу для колебаний физического маятника и выражение для момента инерции полукольца).